소인수분해로 약수 찾기 쉽게 이해하기

왜 배울까요

72의 약수를 곱셈 짝으로 찾다 보면 하나쯤 빠뜨리기 쉬워요. 소인수분해를 이용하면 약수를 표로 빠짐없이 만들고, 몇 개인지도 계산으로 알 수 있어요.

예제로 따라가기

뜻

소인수분해로 약수 만들기

a, b가 서로 다른 소수이고 N=a^m의 m제곱×bⁿ의 n제곱일 때, N의 약수는 a^m의 m제곱의 약수 하나와 bⁿ의 n제곱의 약수 하나를 골라 곱한 수예요.

약수의 개수

그래서 N=a^m의 m제곱×bⁿ의 n제곱의 약수는 (m+1)×(n+1)개예요.

왜 그럴까요

72=2³의 3제곱×3²의 2제곱이에요. 72의 약수로 72를 나누면 나누어떨어져야 하므로, 약수는 소인수로 2와 3만 가질 수 있어요.

또 약수에 들어 있는 2는 3개를 넘을 수 없고, 3은 2개를 넘을 수 없어요.

2 쪽에서는 1, 2, 2²의 2제곱, 2³의 3제곱 중 하나(4가지), 3 쪽에서는 1, 3, 3²의 2제곱 중 하나(3가지)를 골라요. 1을 고르는 것은 그 소인수를 하나도 쓰지 않는다는 뜻이에요.

정리

소인수분해 결과에서 각 소인수를 몇 개 쓸지 고르면 약수가 빠짐없이 만들어지고, 개수는 지수에 1을 더해 곱해요.