구의 겉넓이는 πr²일까요?

πr²은 반지름이 r인 원 하나의 넓이예요. 구의 겉넓이는 그 4배예요.

구의 부피를 4/3πr²으로 써도 될까요?

부피는 길이를 세 번 곱한 양이라 r³이에요.

수학버튼에 로그인한 뒤 짧은 설명을 읽고, 손으로 움직여 보고, 문제로 확인해요. 각 학기 첫 차시는 기본·응용·심화와 도전까지 결제 없이 공부할 수 있어요.

공은 어디를 봐도 둥글어서 전개도를 그릴 수 없어요. 그래서 끈과 물을 이용한 실험으로 겉넓이와 부피를 확인해요.

반지름이 6 cm인 구의 겉넓이와 부피를 구해요.

겉넓이 144π cm², 부피 288π cm³

구의 겉면을 끈으로 빈틈없이 감은 뒤 풀어서 평면에 둥글게 감으면, 근사적으로 반지름이 2r인 원 하나와 맞먹는 양이 나와요. 이 이상화된 실험은 겉넓이가 어떤 모양일지 짐작하게 해 줄 뿐, 정확한 까닭을 보여 주지는 않아요.

실제로 구의 겉넓이는 S=4πr의 2제곱로 정확히 밝혀져 있어요. 반지름이 2r인 원의 넓이 π×(2r)의 2제곱도 4πr의 2제곱이라 끈 실험과 값이 들어맞아요.

구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥(반지름 r, 높이 2r)에 물을 가득 채우고 구를 넣었다 빼는 실험도 근사적인 모형이에요. 이 실험은 물이 3분의 1만 남는 것을 보여 주는데, 이는 구의 부피가 원기둥 부피의 3분의 2이라는 뜻이에요.

구의 부피는 꼭 맞는 원기둥 부피의 이에요.

구의 겉넓이는 4πr의 2제곱, 부피는 3분의 4πr의 3제곱이고, 실험으로 원과 원기둥에 비교해 확인할 수 있어요.

구의 겉넓이는 πr의 2제곱일까요?: πr의 2제곱은 반지름이 r인 원 하나의 넓이예요. 구의 겉넓이는 그 4배예요.
구의 부피를 3분의 4πr의 2제곱으로 써도 될까요?: 부피는 길이를 세 번 곱한 양이라 r의 3제곱이에요.
구의 겉넓이와 부피, 직접 해 볼 수 있나요?: 수학버튼에 로그인한 뒤 짧은 설명을 읽고, 손으로 움직여 보고, 문제로 확인해요. 각 학기 첫 차시는 기본·응용·심화와 도전까지 결제 없이 공부할 수 있어요.